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Comment calculait-on du Moyen-Age à la Révolution ?

mercredi 23 mai 2007, par Marc Deloménie

Un dossier écrit par Jean-Louis Nony, un collègue aujourd’hui retraité.

Quelques aspects historiques

La pratique des opérations arithmétiques n’était pas à la portée de tout le monde en ce temps-là. Elle représentait un art obscur et complexe, et constituait le domaine réservé d’une caste privilégiée de spécialistes, à qui de longues et fastidieuses études transmettaient l’usage mystérieux, et bien compliqué, des vieux abaques à jetons des romains.

Commençons par une anecdote :
Un riche marchand allemand du XVe siècle, suffisamment enrichi pour faire donner une instruction commerciale à son fils, alla un jour consulter un éminent spécialiste pour savoir à quelle institution il fallait confier le jeune homme. Réponse renversante de l’expert :
« Si vous voulez vous contenter de ne lui faire apprendre que la pratique des additions et des soustractions, alors n’importe quelle université allemande ou française fera l’affaire. Par contre, si vous tenez à pousser son instruction jusqu’à la multiplication ou à la division, si tant est qu’il en soit capable, alors il vous faudra l’envoyer dans les écoles italiennes. »

La pratique des opérations arithmétiques n’était pas à la portée de tout le monde en ce temps-là.
Elle représentait un art obscur et complexe, et constituait le domaine réservé d’une caste privilégiée de spécialistes, à qui de longues et fastidieuses études transmettaient l’usage mystérieux, et bien compliqué, des vieux abaques à jetons des romains.

Il fallait à un étudiant plusieurs années d’études assidues et en général les vicissitudes d’un long voyage pour maîtriser les mystères de la multiplication et de la division.
Une multiplication qu’un enfant exécute aujourd’hui en quelques minutes demandait alors à des spécialistes beaucoup plus de temps d’un travail extrèmement délicat.
La situation restera d’ailleurs inchangée jusqu’aux XVIIe et XVIIIe siècles dans les administrations de la vieille Europe conservatrice, ce qui nous le verrons plus tard constituera un frein au développement des techniques modernes de calcul.

A) COMMENT CALCULAIT-ON JUSQU’AU Xe SIECLE ?

On ne connaît pas encore en France, ni en Europe occidentale, les chiffres arabes !
Donc le seul moyen de faire des calculs, c’est d’utiliser l’abaque romain.

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Abaques romains

B) TROIS GRANDES ETAPES DANS L’INTRODUCTION DES CHIFFRES « ARABES »

1) GERBERT D’AURILLAC

Gerbert d’Aurillac, né vers 938, est d’abord novice au couvent de Saint-Géraud, où il apprend tout ce qu’on peut lui enseigner. Son supérieur, conscient de son intelligence exceptionnelle, l’envoie en Catalogne au monastère de Santa Maria de Ripoll qui a servi d’intermédiaire entre les mondes chrétien et musulman. C’est là, qu’il apprend le système de numération et les méthodes de calcul d’origine indienne.
Une autre version de l’histoire veut que, pour son initiation au calcul indo-arabe, Gerbert d’Aurillac soit allé lui-même jusqu’à Séville, à Fès et à Cordoue, et qu’il se soit introduit dans les universités arabes sous le déguisement d’un pèlerin musulman.
Quoi qu’il en soit, il possède alors une connaissance parfaite des chiffres indo-arabe et de leur numération.
Sa sagesse et ses capacités diplomatiques font qu’il se fait de nombreux amis.
Après avoir été archevêque de Reims, il devient pape en 999 sous le nom de Sylvestre II et meurt en 1003.
C’est bien lui qui est à l’origine de l’introduction des chiffres indo-arabes en Europe occidentale.
Des chiffres, mais pas tous les chiffres, neuf seulement ! Pas de zéro (bien que les arabes le connaissent à cette époque, et qu’il a du certainement le voir en Espagne), ni aucune des méthodes de calcul d’origine indienne.

Pourquoi ?
L’initiative de Gerbert s’est heurtée à une grande résistance, due essentiellement au conservatisme des peuples chrétiens, qui se sont « agrippés » à la numération et aux méthodes de calcul romaine.

Les apices

Mais l’échec ne fut pas total. Car en inventant un nouveau modèle d’abaque, Gerbert introduisit les neuf chiffres inscrits sur des jetons appelés apices (prononcez « apicèsses » ). Gerbert mit au point un abaque qui simplifiait les abaques romains classiques, en remplaçant les jetons à valeur d’unité simple par un jeton unique en corne sur lequel fut portée l’indication du nombre correspondant au moyen des neuf chiffres indo-arabes. Jeton que l’on désigna sous le nom d’apex au singulier et d’apices au pluriel et qui reçurent chacun un nom individuel.
1 : Igin
2 : Andras (nom d’origine grecque)
3 : Ormis
4 : Arbas (nom d’origine arabe)
5 : Quimas (nom d’origine latine)
6 : Caltis
7 : Zenis
8 : Temenias (nom d’origine latine)
9 : Celentis

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Abaque de Gerber

2) L’IMPORTANCE DES CROISADES

De 1095 à 1270, les croisades permirent aux Européens un nouveau contact massif avec les Arabes.
C’est par centaines que les savants allaient côtoyer la culture arabe, les outils de calculs des mathématiciens, les chiffres indo-arabes, la numération de position, l’existence du zéro et les méthodes de calcul.
Ironie de l’histoire, tandis que les princes et les chevaliers essayaient par le glaive d’imposer leur religion et leurs traditions aux à infidèles, certains clerc de la suite des croisés apprirent le calcul écrit à la manière indo-arabe.
Progressivement, l’abacus de Gerbert tomba en désuétude. Peu à peu, les chiffres furent tracés sur le sable ou la poussière au lieu d’être gravés sur des jetons de corne, entraînant du même coup la disparition des colonnes de l’abaque.
D’où un calcul aux méthodes plus simples, plus pratiques, que l’on désigna sous le nom d’algorisme, en référence au nom d’Al-Khuwarizmi, le premier savant du monde musulman à en avoir vulgarisé l’usage.
Ce que Gerbert d’Aurillac n’avait pas réussi à faire, deux ou trois siècles plus tôt, les guerres contre les « infidèles » permirent de le réaliser.

3) LES CHIFFRES ET L’IMPRIMERIE

Ce n’est qu’avec le développement de l’imprimerie (après le milieu du XV e siècle) que la forme des chiffres se fixera pour avoir la forme qu’ils ont actuellement.
C’est aussi avec le développement de l’imprimerie que les livres traitant des calculs, des mathématiques vont pouvoir se diffuser.

C) LA QUERELLE DES ABACISTES ET DES ALGORISTES

Au XIIIe siècle, la bataille entre les algoristes (partisans du calcul avec les chiffres indo-arabes) et les abacistes (partisans du calcul sur abaque) était loin d’être gagnée par les premiers.
Un certains nombre de calculateurs, enfermés dans des routines imprégnées des numérations et des règles archaïques, continuaient à prôner l’usage de l’abaque à jetons.

Simon Jacob (mort à Francfort en 1564) au sujet du calcul sur abaque :
« Il est vrai qu’il apparaît de quelque avantage dans les calculs domestiques, où il faut souvent sommer, soustraire ou ajouter, mais dans les calculs de l’art, un peu compliqués, il est souvent embarrassant. Je ne dis pas que l’on puisse faire sur les lignes [de l’abaque] ces calculs, mais tout l’avantage qu’a un piéton libre et sans charge sur celui qui est lourdement chargé, le calcul avec les chiffres l’a sur le calcul avec les lignes … »

La persistance du calcul sur abaque :

Les témoignages écrits : différentes anecdotes en Angleterre, en France et en Allemagne (voir en annexe)
Les témoignages visuels : nombreuses gravures et illustrations montrant des abaques et des personnes s’en servant.
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Les raisons du maintien des calculs avec jetons

1) Une progression lente des quelques ouvrages traduits
Le Liber abaci de Leonardo Fibonacci de son vrai nom Léonard de Pise (1202)
Carmen de Algorismo (adaptation de l’ouvrage d’Al-Khuwarizmi par Alexandre de Villedieu vers 1240
Algorismus vulgaris de Jean de Sacrobosco (alias John of Halifax) vers 1250
Ces trois ouvrages n’ont pu circuler que sous forme de manuscrits pendant près de deux siècles, ce qui en limitait le « tirage » .
D’autre part, en certaines régions, il était interdit d’utiliser les chiffres arabes (ex : conseil de Florence en 1299)

2) Jusqu’au 17e ou au 18e siècle peu de gens savaient lire et écrire.
Ne sachant pas lire, ils n’avaient pas accès aux livres exposant le nouveau calcul et du même coup aux chiffres arabes.
Ne sachant pas écrire, ils n’étaient pas intéressés par le calcul à la plume.
De plus, le symbole 0 devait gêner beaucoup de gens du peuple.

3) Le papier vraiment bon marché n’est apparu qu’au 19e siècle, or pour le calcul à la plume il fallait du papier qui jusque là était trop cher parce que fabriqué d’une manière non industrielle.

4) Le calcul à la plume a longtemps été inconfortable
On effectuait les calculs par étapes, en écrivant des chiffres que l’on biffait à l’étape suivante. Il a fallu attendre plusieurs siècles pour qu’apparaissent les procédures modernes « avec retenues » et donc sans biffage, et donc qu’on passe sans réticence au calcul à la plume et du même coup aux chiffres arabes qu’il impose.

5) Surtout, la monnaie n’est pas décimale
Il faut 12 deniers pour un sou et 20 sous pour une livre tournoi (ou franc). Les commerçantset les banquiers n’avaient pas forcément accès aux universités où l’on enseignait le nouveau mode de calcul.

6) Question de pouvoir
Les calculateurs professionnels de l’époque, qui pratiquaient les opérations sur l’abaque à jetons, formaient une puissante caste placée sous la haute protection de l’Eglise. Voulant garder pour eux les secrets de cet art, et voyant leur gagne-pain menacé, ils ne voulurent pas entendre parler de cet algorisme révolutionnaire qui mettait l’arithmétique à la portée de n’importe qui.

7) Des raisons idéologiques
L’Eglise avait le contrôle de la science et de la philosophie. Elle exigea donc que leur évolution restât strictement soumise à la foi absolue en ses dogmes et que leur étude se consacrât en complète harmonie avec la théologie.
Ainsi certaines autorités ecclésiastiques firent-elles courir le bruit que pour être si facile, si ingénieux, le calcul à la manière arabe devait sûrement avoir quelque chose de magique, voire de démoniaque ; il ne pouvait provenir que du diable lui-même ! De là à envoyer des algoristes trop zélés au même bûcher que les sorcières et les hérétiques, il n’y eut qu’un pas que certains inquisiteurs ne manquèrent pas de franchir, par endroits.
Gerbert lui-même n’échappa pas à cet esprit d’arrière garde ; on en vint à murmurer qu’il fut alchimiste et sorcier et qu’en allant goûter à la science des « infidèles sarrazins » , il avait sûrement dû vendre son âme à Lucifer. Grave accusation qui poursuivra le savant homme durant de nombreux siècles. Au point qu’en 1648 l’autorité pontificale jugera nécessaire de faire ouvrir le tombeau de Sylvestre II pour vérifier si les diables de l’enfer ne l’habitaient pas encore … !

On se trouve confronté à un véritable veto ecclésiastique et à une levée de boucliers de la part de la caste des calculateurs professionnels. Veto qui sera maintenu en divers endroits jusqu’au XVe siècle.
Il semble bien que l’Eglise ne veuille pas favoriser une démocratisation du calcul qui entraînerait sûrement pour elle une perte de monopole en matière d’enseignement et par conséquent une perte de pouvoir et d’influence.
Le calcul sur l’abaque à jetons continuera à être pratiqué par les commerçants, les financiers, les banquiers et les argentiers, et il faudra attendre la Révolution française pour assister à l’abolition définitive de ces méthodes archaïques ; en effet elle interdira l’usage de l’abaque dans les écoles et les administrations !

D) BIBLIOGRAPHIE

Histoire universelle des chiffres - Georges IFRAH - Ed. Robert Laffont - Coll. Bouquins - 1994
Mystères des chiffres - Marc-Alain OUAKNIN - Ed. Assouline - 2003
Compter avec des jetons (tables à calcul et tables de comptes du Moyen Age à la Révolution) - Alain SCHARLIG - Ed. Presses polytechniques et universitaires romandes - 2003
Compter avec des cailloux (le calcul élémentaire sur l’abaque chez les anciens Grecs) - Alain SCHARLIG - Ed. Presses polytechniques et universitaires romandes - 2001
Revue La Recherche No 278 - Juillet-Août 1995
Revue Grand N - CRDP de Grenoble - Histoire des tecniques opératoires : No14(fév.78 : l’addition - la soustraction) - No15(mai 78 : la multiplication) - No 17 (Fev. 79 : la division)

Sites internet :
http://www.encyclopedie-universelle...
http://www.animath.fr/UE/Charb/Char... : les bâtons de Neper et les réglettes de Genaille et Lucas
http://www.chronomath.com : une chronologie des mathématiques ; remarquable
http://www.physique.usherbrooke.ca/... : évolution des machines à calculer
http://www.jlsigrist.com/histoire.html : histoire des maths
http://www.iro.umontreal.ca/ tappa/... : histoire des nombres et des symboles
http://perso.club-internet.fr/petre... : petite histoire de la numération
http://rubeda.9online.fr/images.htm : des machines à calculer
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign... : les bâtons de Neper et les réglettes de Genaille et Lucas
http://lechiffre.free.fr : histoire des nombres
http://www.chez.com/histoiredechiff... : histoire des chiffres

ANNEXES

Introduction des chiffres « arabes » en Europe

972-982 : Lors d’un voyage en Espagne, le moine auvergnat Gerbert d’Aurillac (qui deviendra pape en 999 sous le nom de Sylvestre II) s’initie aux chiffres « arabes » et les introduit en Europe occidentale

Xe - XIIe siècle : les calculateurs européens effectuent leurs opérations arithmétiques sur l’abaque à colonnes d’origine latine, perfectionné par Gerbert d’Aurillac et ses disciples : ils utilisent pour cela des jetons de corne (appelé apices), marqués chacun de l’un des chiffres « arabes » de 1 à 9 (ou de lettres numérales grecques ou encore des chiffres romains de I à IX)

XIIe siècle : Introduction du signe-zéro d’origine indienne en Europe occidentale : les calculateurs européens effectuent désormais leurs opérations arithmétiques au moyen du zéro et des neuf chiffres « indo-arabes » : c’est l’apparition des algorismes, comme on appellera alors les règles de calcul écrit d’origine indienne.

XIIe - XVe siècle : Epoque où les chiffres « arabes » se stabilisent graphiquement en Europe occidentale pour donner naissance à la forme définitive qu’ils ont actuellement

XIIe XVIe siècle : Epoque de la farouche polémique qui opposera en Europe les Abacistes (tenants du calcul au moyen de jetons sur l’abaque à colonnes et enfermés dans une routine imprégnée de numérations archaïques telles que les chiffres romains ou les lettres numérales grecques) aux Algoristes défenseurs de la pratique du calcul écrit au moyen du zéro et des chiffres d’origine indienne.

XVe - XVIe siècle : Généralisation progressive des méthodes de calcul au moyen des chiffres « arabes » et du zéro ; c’est alors le triomphe des Algoristes et le début de la défaite des Abacistes en Europe. Le calcul sur l’abaque à jetons continuera néanmoins à être pratiqué par les commerçants, les financiers, les banquiers et les argentiers, et il faudra attendre l’époque de la Révolution française pour assister à l’abolition définitive de ces méthodes archaïques ; l’usage de l’abaque fut dès lors interdit dans les écoles et les administrations.


QUELQUES ANECDOTES

En Angleterre :
Chaucer dans les Contes de Canterbury (14ème) :
Son astrolabe, pour pratiquer son art,
Ses cailloux d’algorithme, disposés bien à l’écart
Sur des étagères au pied du lit …
Shakespeare

« Je ne peux pas le faire (ce calcul) sans jetons » (Conte d’hiver ; 1610)

« Veux-tu totaliser au moyen de jetons
la proportion qu’a prise dans le passé son infinie grandeur ? » (Troilus et Cressida ; 1603)

« Ce type qui compte avec des jetons » (Othello ; 1604)

Samuel Pepys, fonctionnaire britannique, qui sortait tout droit de Cambridge, était attaché à la marine de guerre anglaise. Nommé par la suite au secrétariat de l’Amirauté, il acquit en 1662 le poste de responsabilité des marchés avec les fournisseurs. Doté d’une instruction très correcte, ce « clerc des Actes » se trouva pourtant incapable d’effectuer les calculs nécessaires à la vérification des achats de bois de charpente conclu par son administration. Aussi décida-t-il de retourner à l’école, ou plutôt de parcourir l’Europe afin de maîtriser l’art de calculer. Et comme l’administration imposait le calcul sur la table à jeton, il se trouva pendant plusieurs mois dans l’obligation de se lever à quatre heures du matin, étant donné la difficulté. Il parvint finalement à surmonter son handicap, allant même dans son élan jusqu’à entraîner son épouse.« Ma femme, écrira-t-il dans son journal à la fin de l’an de grâce 1663, est maintenant capable d’effectuer sans peine les additions, les soustractions et même les multiplications. Mais je n’ose pas encore la troubler avec la pratique des divisions ! »

En France :

Montaigne
« Je suis né et nourry aux champs parmy le labourage ; j’ay des affaires et du ménage en main depuis que ceux qui me devanéaient en la possession des biens que je jouis m’ont quitté leur place. Or, je ne say compter ny a get ni a plume. »
Montaigne, Essais, Livre II (1553-1593), Conseiller au Parlement de Bordeaux, ex-conseiller à la cour des aides de Périgueux, maire de Bordeaux

Madame de Sévigné écrit à sa fille en 1671 :
« Nous avons trouvé, avec ces jetons qui sont si bons, que j’aurai eu cinq cent trente mille livres de bien, en comptant toutes mes petites successions. »

En Allemagne :

Le mathématicien Leibnitz dans Nouveaux essais sur l’entendement humain , écrits en français en 1701 :
« Il est cependant très vrai que l’abus des mots est une grande source d’erreurs, car il en arrive une manière d’erreur de calcul, comme si en calculant on ne marquoit pas bien la place du jetton, ou si (…) »

Bettina von Arnim décrivant l’enfance de Goethe ( né en 1749) dit :
« Aucun jouet ne pouvait mieux le captiver que le panneau à calculer de son père, sur lequel il représentait la position des astres au moyen de jetons de compte. »
Donc le père de Goethe effectuait des calculs au moyen de jetons au milieu du 18e siècle.


L’addition

C’est la technique de l’addition qui s’est stabilisée le plus vite et n’a pratiquement pas évolué depuis le XIIème siècle.
An mil : sur l’abaque de Gerbert de gauche à droite.
A partir du XIIIe : technique usuelle

Exemples : 76 + 7 + 272 + 89 +160

1) Méthode en usage au XVIème siècle en Allemagne :
(ce procédé visent à éviter les retenues ou du moins à les repousser)

2) Méthode citée par Baha EDDIN (auteur syrien 1547-1622)
Les nombres sont placés dans un tableau, héritage des calculs sur abaque. Les additions sont effectuées colonne par colonne en commençant par la gauche. L’opérateur au fur et à mesure des calculs, efface les résultats partiels si le travail se fait sur ardoise, ou procéde à des ratures comme ci-contre, si le travail se fait à la plume.

3) Le procédé actuellement en vigueur, dont l’origine arabe ne semble pas faire de doute, a été adopté par Maximes PLANUDES (écrivain byzantin 1260-1310). Dans la marge on indiquait la preuve par 9 de l’opération. La seule différence avec notre méthode était que la somme était écrite en haut du tableau.


La soustraction

La soustraction a pris sa forme définitive vers le XVIème siècle, mais différentes méthodes ont subsisté en même temps.

Exemples : 6459 - 2872

Méthode arabe : nombres placés dans une grille ; les calculs se font en commençant par la gauche ou par la droite colonne par colonne sans tenir compte des retenues. Dans un deuxième temps, on obtient le résultat en tenant compte de ces retenues. Cette disposition est un héritage des abaques.

Méthode moyenâgeuse [Ramus (1515-1572) mathématicien et philosophe français] Le calcul se fait en commençant par la gauche.

Méthode classique (Fibonacci (1175-1240) mathématicien italien dont le vrai nom est Léonard de Pise) C’est notre méthode mais le résultat est écrit juste de la ligne alors que la preuve apparaît sur la première ligne.


La multiplication

La technique de cette opération connut de très nombreuses méthodes. Mais, hormis la méthode égyptienne et la méthode russe, qui sont d’une très grande originalité, toutes les autres sont des variantes de notre méthode classique.

Exemples :

  • Méthode de l’abaque(Gerbert)
    Dès le Xème siècle, les jetons de calcul sur abaque sont remplacés par des jetons marqués des chiffres 1,2,…,9 ; le zéro n’était pas connu en France (découvert au VIème siècle en Inde, les arabes l’ont utilisé dès le VIIIème siècle).
    La combinaison de ce matériel et de la table de multiplication a donné une méthode assez longue, mais qui marque un certains progrès.
    4608 x 369 = 1 700 352
  • Méthode indienne
    Encore en usage en Inde au XIXème siècle, cette méthode était connue des arabes au XIIIème siècle.
    754 x 39 = 29 406
  • Méthode à per gelosia
    (ce mot désignait le treillis de bois ou de fer qui permet de voir de l’intérieur sans être vu)

Cette méthode, dont on peut traduire le qualificatif par "par jalousie", est aussi appelée méthode arabe. C’est une très vieille méthode déjà signalée au XIIème siècle en Inde. Dès le XVème siècle, elle présente déjà un aspect historique et devient une curiosité au XVIIIème siècle.
4608 x 369 = 1 700 352

La méthode « per gelosia » fut reprise avec les baguettes de NEPER (1550-1617).

  • Méthode « per scachieri » (par quadrillage ou par échiquier)
    Il s’agit de notre méthode classique dénommée à per scachieri à par les auteurs italiens car elle était le plus souvent présentée dans un quadrillage (un échiquier).
    Cette méthode était connue au XVème siècle. Mais il semble qu’elle soit plus antérieure encore car on la retrouve sous une forme équivalente en Inde dès le XIIème siècle.
    4608 x 369 = 1 700 352
    multiplication4

ANNEXES

Tables de multiplication :

En Europe, les tables de multiplication prenaient différentes formes.

    • Une forme linéaire classique : on a trouvé des tables de multiplications jusqu’à 100 x 100 et parfois davantage. Elles étaient utilisées par les commerçants.
    • Une forme carrée appelée à tort table de Pythagore.
    • Au Moyen-Age, la table de multiplication n’était apprise que jusqu’à 5 x 5. On employait alors un moyen ingénieux appelé « regula pigri » (règle du paresseux) ou multiplication digitale.
      Par exemple pour trouver le produit 7 x 8 on procédait de la manière suivante :
      On lève 2 doigts d’une main (7-5) et 3 doigts de l’autre (8-5). On a donc 3 doigts baissés dans une main et 2 doigts baissés dans l’autre.
      Le nombre d’unités de 7x8 est égal au produit des nombres de doigts baissés : 3 x 2 soit 6.
      Le nombre de dizaines de 7x8 est égale à la somme des doigts levés : 2 + 3 = 5 (il faut reporter la retenue du produit le cas échéant)
      D’où 7 x 8 = 56

Preuve de la multiplication :

La preuve par 9 de la multiplication dont l’origine est inconnue, était déjà employée dès le IXème siècle par les arabes. Les mathématiciens à partir de cette époque sont friands de preuves. Mais la preuve par 9 n’était pas la seule employée. On utilisait aussi la preuve par 7, par 8 et par 11.

Réglettes multiplicatrices de Genaille et Lucas (1885)


La division

Des quatre opérations, la division est de loin la plus complexe - on l’appelait autrefois l’épine de l’arithmétique - et c’est celle qui a mis le plus de temps à prendre la forme définitive que l’on connaît. D’ailleurs, au Moyen-Age, seules quelques universités l’enseignaient.

Exemples :

Méthode de Gerbert (Auvergne 938 - Rome 1003 ; archevêque de Reims puis pape sous le nom de Sylvestre II, il est considéré comme celui qui a introduit la numération décimale de position en Europe occidentale à la suite d’un séjour en Espagne)
Au lieu de rechercher le quotient de 3251 par 83, la méthode consiste à diviser 3251 par (100-83) soit 17 par soustractions successives de multiples de (100-83)

3251 : 83

quotient 39 ; reste 14

« Partire per batello » ou « Partire per galea » ou division de Nicolas Chuquet (1445-1498)

(diviser en bateau ou diviser en galère, allusion à la forme que prend l’organisation des calculs)

division de 543 800 004 100 007 357 par 8 540 000 039 000 047

quotient 63 ; reste 5 780 001 643 004 396

(au dessus des calculs figure la preuve par 7)

division de 724 392 par 5 372

quotient 154 ; reste 4 544

Etapes de la division de 4 952 par 73

quotient 67 ; reste 6

Nicolas Chuquet disposait les calculs de manière légèrement différente : le quotient est écrit entre deux traits horizontaux :

Réglettes multissectrices de Genaille (ingénieur aux chemins de fer de l’Etat) et Lucas (mathématicien) : 1885 (pour plus d’information sur ces réglettes, vous pouvez consulter cette adresse.)

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